在电子工程中，电容（ C ）与电阻（ R ）串联组成的电路被称为 RC 电路。当电压施加于该电路或移除时，电容电压的变化并不是瞬间完成的，而是遵循一个特定的指数规律。
1. 核心概念：时间常数 ( \tau )
所有 RC 电路计算的基础都是时间常数（Time Constant），通常用希腊字母 \tau (Tau) 表示。它决定了电路充放电速度的快慢。
计算公式
其中：
- \tau (Tau)：时间常数，单位为秒 (s)。
- R：电阻值，单位为欧姆 (\Omega)。
- C：电容值，单位为法拉 (F)。
温馨提示： 在实际计算中，注意单位换算。
- 1 k\Omega = 1000 \Omega
- 1 \mu F = 1 \times 10^{-6} F
- 例如：10k\Omega 和 100\mu F 的时间常数为：10000 \times 0.0001 = 1 秒。
2. 电容充电过程
假设一个电容初始电压为 0V，我们通过一个电阻 R 将其连接到一个直流电压源 V_{in}。
2.1 充电电压公式
电容两端的电压 V_c 随时间 t 变化的公式为：
其中：
- V_c(t)：t 时刻电容两端的电压。
- V_{in}：输入电源电压（最大目标电压）。
- t：充电经过的时间（秒）。
- e：自然对数的底数 (约等于 2.718)。
2.2 关键时间点速查表
在工程应用中，我们通常不需要每次都解方程，而是记住以下关键的 \tau 倍数点：
| 时间 (t) | 达到电压百分比 (V_c / V_{in}) | 状态描述 |
|---|---|---|
| 1\tau | 63.2% | 快速上升阶段结束 |
| 2\tau | 86.5% | 接近饱和 |
| 3\tau | 95.0% | 工程上常视为接近充满 |
| 4\tau | 98.2% | - |
| 5\tau | 99.3% | 工程上视为完全充满 |
注意： 理论上电容永远充不满（无限逼近 V_{in} ），但在电子工程实践中，我们定义 5\tau 为充满状态。
2.3 逆向计算：计算达到特定电压需要的时间
如果你需要设计一个延时电路，已知目标电压 V_{target}，求所需时间 t，公式变换如下：
3. 电容放电过程
假设电容已经被充电到电压 V_{initial}，现在切断电源，通过电阻 R 进行放电（或接地）。
3.1 放电电压公式
电容两端的电压 V_c 随时间 t 下降的公式为：
其中：
- V_{initial}：放电开始时的初始电压。
3.2 放电关键时间点
| 时间 (t) | 剩余电压百分比 (V_c / V_{initial}) | 状态描述 |
|---|---|---|
| 1\tau | 36.8% | 剩余约 1/3 电量 |
| 2\tau | 13.5% | - |
| 3\tau | 5.0% | 低电平区域 |
| 5\tau | 0.7% | 工程上视为放电完毕 |
3.3 逆向计算：计算放电到特定电压的时间
已知当前电压要降至 V_{target}，求所需时间 t：
4. 实战演练：设计一个复位电路
场景： 单片机（MCU）的复位引脚是低电平有效（Low Active），需要保持至少 10ms 的低电平才能成功复位。电源电压为 3.3V。我们判定低于 0.8V 为低电平有效区间。
已知条件：
- V_{in} = 3.3V
- V_{initial} = 3.3V (假设断电瞬间电容满电，这通常是计算掉电保持时间，或者是上电复位时电容从0V充到阈值)
这里我们以上电复位（充电）为例：
电容从 0V 开始充电，MCU 复位引脚连接在电容上（RC串联，电容接地）。当电容电压低于 V_{th} (例如 0.8V) 时，MCU 处于复位状态。我们需要这个时间 t > 10ms。
计算步骤：
- 确定公式： 使用充电时间公式 t = -\tau \times \ln(1 - \frac{V_c}{V_{in}})。
- 代入数值：
0.01s = -RC \times \ln\left(1 - \frac{0.8}{3.3}\right) - 计算自然对数部分：
\ln(1 - 0.242) = \ln(0.758) \approx -0.277 - 解出 RC：
0.01 = -RC \times (-0.277)
RC \approx \frac{0.01}{0.277} \approx 0.036 s - 选型：
如果选定电容 C = 10\mu F (10 \times 10^{-6} F)：
R = \frac{0.036}{10 \times 10^{-6}} = 3600 \Omega = 3.6 k\Omega
结论： 你可以选择 10\mu F 的电容和 3.6k\Omega 的电阻（实际工程中可能选 4.7k\Omega 以留有余量）。
5. 工程师的避坑指南 (Engineering Nuances)
在实际设计中，仅仅套用公式是不够的，必须考虑以下物理限制：
-
元器件误差 (Tolerance)：
- 普通的铝电解电容误差通常高达 \pm 20\%。
- 电阻通常为 \pm 1\% 或 \pm 5\%。
- 因此，你计算出的 10ms 在实际电路中可能是 8ms 到 12ms，设计时必须留出余量（Margin）。
-
漏电流 (Leakage Current)：
- 如果 R 的值非常大（例如兆欧级 \text{M}\Omega ），电容自身的漏电流就不可忽略了。漏电流相当于并在电容旁边的电阻，会导致电容永远充不满，或者放电时间比预期快得多。
-
等效串联电阻 (ESR)：
- 在高频应用中，电容内部的 ESR 会影响充放电速率，但在普通的低速定时电路（秒级或毫秒级）中，ESR 通常可以忽略。
-
MCU 阈值电压 (Threshold)：
- 数字电路的 V_{IL} (输入低电平) 和 V_{IH} (输入高电平) 不是固定的，存在由于温度和工艺导致的漂移。计算时应参考 Datasheet 中的最坏情况值 (Min/Max)。
总结
- 时间常数：\tau = RC。
- 充电规律：1\tau 充到 63%，5\tau 充满。
- 放电规律：1\tau 剩 37%，5\tau 放完。
- 工程设计：永远要为元器件的误差和阈值漂移留出余量。
希望这篇文章能帮你彻底搞懂电容充放电的计算！