Заметки по изучению: тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс)

Технические обсуждения Другие
1

Синусоидальная функция (sine function) и косинусоидальная функция (cosine function) являются двумя наиболее фундаментальными и важными тригонометрическими функциями. Они широко применяются для описания периодических явлений, волн, колебаний, вращений и других процессов. Ниже приведено подробное описание синусоидальной и косинусоидальной функций.

Синусоидальная функция (Sine Function)

Определение

Для угла \theta синусоидальная функция \sin(\theta) определяется как координата y точки на единичной окружности, соответствующей этому углу. Единичная окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат.

Выражение

\sin(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}

Свойства

  1. Периодичность: Синусоидальная функция является периодической с периодом 2\pi :
    \sin(\theta + 2k\pi) = \sin(\theta)
    где k — любое целое число.

  2. Чётность/нечётность: Синусоидальная функция — нечётная:
    \sin(-\theta) = -\sin(\theta)

  3. Область значений: Диапазон значений синусоидальной функции — [-1, 1].

  4. Особые значения:
    \sin(0) = 0
    \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1
    \sin(\pi) = 0
    \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1
    \sin(2\pi) = 0

График

График синусоидальной функции представляет собой синусоидальную кривую, колеблющуюся вокруг оси x .

График синусоидальной функции
График синусоидальной функции2560×1251 366 KB

Косинусоидальная функция (Cosine Function)

Определение

Для угла \theta косинусоидальная функция \cos(\theta) определяется как координата x точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.

Выражение

\cos(\theta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}

Свойства

  1. Периодичность: Косинусоидальная функция является периодической с периодом 2\pi :
    \cos(\theta + 2k\pi) = \cos(\theta)
    где k — любое целое число.

  2. Чётность/нечётность: Косинусоидальная функция — чётная:
    \cos(-\theta) = \cos(\theta)

  3. Область значений: Диапазон значений косинусоидальной функции — [-1, 1].

  4. Особые значения:
    \cos(0) = 1
    \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
    \cos(\pi) = -1
    \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0
    \cos(2\pi) = 1

График

График косинусоидальной функции представляет собой волновую кривую, симметричную относительно оси y , похожую на синусоиду, но со сдвигом по фазе.

График косинусоидальной функции
График косинусоидальной функции2560×1251 365 KB

Связь между синусоидальной и косинусоидальной функциями

Между синусоидальной и косинусоидальной функциями существует множество важных соотношений:

  1. Фазовый сдвиг:
    \sin(\theta) = \cos\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)
    \cos(\theta) = \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)

  2. Тождество Пифагора:
    \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1

  3. Формулы сложения:
    \sin(\alpha \pm \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta)
    \cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta)

  4. Формулы двойного угла:
    \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)
    \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)

  5. Формулы выражения через другую функцию:
    \sin(\theta) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(\theta)}
    \cos(\theta) = \pm \sqrt{1 - \sin^2(\theta)}

Применение

Синусоидальная и косинусоидальная функции находят широкое применение во многих областях, включая, но не ограничиваясь:

  • Физика: описание волн, колебаний и гармоник.
  • Инженерия: обработка сигналов, связь и системы управления.
  • Астрономия: описание орбит планет и спутников.
  • Биология: описание периодических биологических явлений, таких как сердцебиение и дыхание.

Синусоидальная и косинусоидальная функции также являются фундаментальными понятиями в тригонометрии и анализе Фурье, используемыми для анализа и обработки периодических явлений.

Тангенсальная функция (tangent function)

Тангенсальная функция (tangent function) — одна из основных тригонометрических функций. Она широко применяется в математике, физике и инженерии. Ниже приведено подробное описание тангенсальной функции.

Определение тангенсальной функции

Тангенсальная функция \tan(\theta) определяется как отношение синусоидальной функции \sin(\theta) к косинусоидальной функции \cos(\theta) :

\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}

Свойства тангенсальной функции

  1. Область определения: Тангенсальная функция не определена в точках, где косинус равен нулю:
    \theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi
    где k — любое целое число.

  2. Область значений: Область значений тангенсальной функции — все действительные числа (-\infty, \infty) .

  3. Периодичность: Тангенсальная функция является периодической с периодом \pi :
    \tan(\theta + k\pi) = \tan(\theta)
    где k — любое целое число.

  4. Чётность/нечётность: Тангенсальная функция — нечётная:
    \tan(-\theta) = -\tan(\theta)

  5. Особые значения:

    • \tan(0) = 0
    • \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1
    • \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) не определена
    • \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1

График тангенсальной функции

График тангенсальной функции представляет собой волновую кривую с периодом \pi . В каждом периоде имеется вертикальная асимптота в точках \theta = \frac{\pi}{2} + k\pi , где k — любое целое число. В этих точках значение функции стремится к плюс или минус бесконечности.

График тангенсальной функции
График тангенсальной функции2560×1251 324 KB

Связь тангенсальной функции с другими тригонометрическими функциями

Между тангенсальной функцией и другими тригонометрическими функциями существует множество важных соотношений:

  1. Основное определение:
    \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}

  2. Обратная связь:
    \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}
    где \cot(\theta) — котангенс.

  3. Тождество с секансом:
    \sec^2(\theta) = 1 + \tan^2(\theta)
    где \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} — секанс.

  4. Формулы сложения:
    \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta)}

  5. Формулы двойного угла:
    \tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)}

Применение тангенсальной функции

Тангенсальная функция находит применение во многих областях, особенно в следующих:

  • Геометрия: в прямоугольном треугольнике тангенс выражает отношение противолежащего катета к прилежащему.
  • Физика: описание волн, колебаний и наклонов.
  • Инженерия: анализ и обработка периодических сигналов в обработке сигналов, связи и системах управления.
  • Навигация и астрономия: вычисление углов и расстояний.

Заключение

Тангенсальная функция — это периодическая функция, обладающая множеством важных свойств и применений. Понимание и овладение тангенсальной функцией крайне важно для решения различных математических и инженерных задач.

Графики трёх функций

2560×1251 568 KB

Рекомендуемые статьи

Заявление

Данный текст сгенерирован ИИ и проверен человеком — основное содержание корректно.

1 лайк