What is the relationship between the resonant frequency and the cutoff frequency of an LC low-pass filter?

技術討論 アナログ電子
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What is the relationship between the resonant frequency and the cutoff frequency of an LC low-pass filter?

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LC低通濾波器：轉移函數、頻率特性與系統分析

1. LC濾波器的轉移函數

LC濾波器的轉移函數表示為：

H(s) = \frac{1}{1 + LC s^2}

其中 L 表示電感， C 表示電容（LC拓撲的核心元件）。

2. 波德圖與幅度-頻率特性

為了分析頻域行為（波德圖），將複數頻率 $ s = j\omega （其中 j 為虛數單位， \omega = 2\pi f $ 為角頻率）代入轉移函數：

H(j\omega) = \frac{1}{1 - LC \omega^2}

此濾波器的幅度-頻率特性（振幅響應）為：

|H(j\omega)| = \left| \frac{1}{1 - LC \omega^2} \right|

3. 諧振頻率處的特性分析

LC電路的諧振頻率（自然頻率）定義為：

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

（注意：原文使用 \omega_c 表示諧振頻率，此處調整為電子工程術語的標準符號 \omega_0 以保持一致性。）

當 \omega = \omega_0 時， H(j\omega) 的分母為 1 - LC \cdot \frac{1}{LC} = 0 ，因此增益 |H(j\omega_0)| \to \infty 。這表示單獨的LC濾波器設計在大多數應用中不切實際：

  • 不足的阻尼會放大諧振頻率處的干擾。
  • 在開關電源中，佈局/接線或元件封裝產生的寄生參數可能在開關瞬態期間觸發振盪。
  • 廣泛應用於開關電源的PWM方波（PWM square waves）通過傅立葉分解包含所有高頻諧波，很容易激發LC濾波器的諧振。

4. 截止頻率（-3dB頻率）的推導

截止頻率（或 -3dB頻率）是濾波器振幅衰減至 $ \frac{1}{\sqrt{2}} $（比直流增益低3dB）的頻率。計算時需解方程：

\left| \frac{1}{1 - LC \omega^2} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}

推導步驟：

  1. 對兩邊平方以消除絕對值與平方根：
\frac{1}{(1 - LC \omega^2)^2} = \frac{1}{2} \implies (1 - LC \omega^2)^2 = 2
  1. 取平方根（選擇負解，因低通濾波器截止頻率處 $ 1 - LC \omega^2 < 0 $）：
1 - LC \omega^2 = -\sqrt{2}
  1. 重新排列求解 \omega ：
LC \omega^2 = 1 + \sqrt{2} \implies \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \sqrt{1 + \sqrt{2}}

代入 \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} ，截止頻率簡化為：

\omega_{\text{cutoff}} \approx 1.554 \omega_0

5. 與無阻尼二階系統的類比

LC濾波器對應於無阻尼二階系統（阻尼係數 $ \zeta = 0 $）。二階系統的一般轉移函數為：

H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}

針對LC濾波器：

  • $ \omega_n = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $（自然頻率），
  • $ \zeta = 0 $（無阻尼）。

其步階響應會呈現定幅振盪（持續共振），進一步凸顯單獨LC濾波器的不穩定性。

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To grasp this concept, we should interpret it through the logarithmic magnitude-frequency characteristic curve of the LC low-pass filter:

First, the transfer function of the filter is defined as:

H(s) = \frac{1}{LCs^2 + 1}

Its logarithmic magnitude-frequency characteristic curve exhibits the following behavior:

  • Initially, it appears as a horizontal line parallel to the abscissa (with a slope of 0 dB/decade, meaning no gain/loss).
  • A transition occurs at the resonant frequency \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} . Beyond this frequency, the curve rolls off with a slope of -40 dB/decade (steep attenuation of high frequencies).

The frequency corresponding to the -3 dB attenuation point on this curve is defined as the cutoff frequency. Calculating this cutoff frequency involves relatively complex steps; thus, if high precision is not required, the resonant frequency can be used as a reasonable approximation of the cutoff frequency.

From a physical perspective:

  • The resonant frequency of the LC filter refers to the frequency at which the inductor (L) and capacitor (C) oscillate in tandem, causing the circuit to present a purely resistive impedance characteristic (no reactive components dominate).
  • The cutoff frequency, by contrast, marks the specific frequency threshold where the LC filter begins to exert its filtering effect—i.e., the point at which high-frequency signals start to be significantly attenuated.
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理想的なLCローパスフィルタでは、共振周波数とカットオフ周波数の数値は同じであり、どちらも同じ式で計算されます：

f_c = f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

ここで L はインダクタンス値、C は静電容量値です。

物理的な意味の違いは以下の通りです：

  • カットオフ周波数（$f_c$）はフィルタの通過帯域と阻止帯域の境界点であり、通常は信号ゲインが‑3 dBまで低下する周波数で定義されます。
  • 共振周波数（$f_r$）は損失がない理想条件下でLC回路のリアクタンスが互いに打ち消し合い、共振が発生する周波数です。

したがって、式が同じであるにもかかわらず、カットオフ周波数はフィルタの周波数応答特性を記述し、共振周波数は回路自体の共振特性を記述します。実際の回路では、素子の寄生パラメータ（例えば直列抵抗）の影響により、この2つの周波数にわずかなずれが生じることがありますが、理論解析および設計時には通常一致するとみなされます。

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LCローパスフィルタ：共振周波数とカットオフ周波数の核心関係

電子エンジニアとして、スイッチング電源の出力フィルタや信号のノイズ除去などのシーンにおいて、LCローパスフィルタの**共振周波数（$f_0$）とカットオフ周波数（$f_c$）**は重要なパラメータです。前者はLC回路の固有特性、後者はフィルタ性能の指標であり、**減衰係数（$\zeta$）**を通じて密接に関連します。その関係は回路構成や負荷条件によって変化します。以下では定義、数式導出、実用例の3つの観点から理論と実践をバランスよく解説します。

一、基礎定義：2つの周波数の本質を理解

1. 共振周波数（$f_0$）——LC回路の「固有振動周波数」

共振周波数は、外部の励振なしでLC回路が振動する周波数であり、インダクタンス（$L$）と容量（$C$）のみで決まります。負荷や減衰には依存しません：

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
  • 物理的意味：このときの容量性リアクタンス（$X_C = 1/(2\pi fC)$）と誘導性リアクタンス（$X_L = 2\pi fL$）は等しく（$X_L = X_C$）、回路は純抵抗性を示し、エネルギーはインダクタとキャパシタの間で周期的に交換されます。
  • 重要な特性：直列LC回路では共振時にインピーダンスが最小（ほぼ0）に、並列LC回路（電源フィルタで一般的）では最大となり、高周波信号がバイパスされます。

2. カットオフ周波数（$f_c$）——フィルタ特性の「折れ曲がり周波数」

カットオフ周波数（-3dB周波数とも呼ばれる）は、フィルタの出力電圧が入力の$1/\sqrt{2}$（出力電力が50%）に減衰する周波数で、「通過帯域」と「阻止帯域」の境界を示します：

  • 物理的意味：$f_c$より低い周波数の信号はほぼ減衰せず通過し、高い周波数の信号は大幅に抑制されます。
  • 重要な特性：$f_c$は$L、C$だけでなく、負荷抵抗（$R_L$）や減衰係数の影響も受けます（高次フィルタの特徴）。

二、核心関係：数式導出と減衰係数の影響

LCローパスフィルタは2次系に属し、そのカットオフ周波数と共振周波数の関係は**減衰係数（$\zeta$）**によって決まります。以下では、スイッチング電源出力フィルタなどで一般的な「直列インダクタ＋並列キャパシタ＋負荷抵抗」の構成を例に、主要な数式を導出します。

1. 2次LCローパスの伝達関数

回路構成：入力電圧$V_{in}$ → 直列インダクタ$L$ → 並列ブランチ（キャパシタ$C$＋負荷抵抗$R_L$）→ 出力電圧$V_{out}$（キャパシタ両端の電圧）。
インピーダンス解析により、伝達関数の振幅特性は以下の通りです：

|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{\left(1 - \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2\right)^2 + \left(2\zeta \cdot \frac{\omega}{\omega_0}\right)^2}}

ここで：

  • $\omega = 2\pi f$（角周波数）、$\omega_0 = 2\pi f_0$（共振角周波数）；
  • 減衰係数$\zeta = \frac{1}{2R_L\sqrt{\frac{C}{L}}}$（負荷抵抗$R_L$、L、$C$で決まり、回路のエネルギー損失度を反映）。

2. カットオフ周波数と共振周波数の定量的関係

カットオフ周波数は$|H(j\omega_c)| = 1/\sqrt{2}$（-3dB減衰）で定義されます。振幅特性式に代入して解くと：

f_c = f_0 \cdot \sqrt{1 - 2\zeta^2 + \sqrt{2(2\zeta^4 - 2\zeta^2 + 1)}}

この式が核心です。減衰係数によって$f_c$と$f_0$の関係が大きく異なります。以下に3つの実用ケースを解説します：

減衰係数$\zeta$ システム状態 $f_c$と$f_0$の関係 振幅-周波数特性の特徴 実用シーン
\zeta = 1/\sqrt{2} \approx 0.707 臨界減衰（Butterworth） f_c = f_0 振幅-周波数特性が最大平坦、共振ピークなし スイッチング電源出力フィルタ、精密信号処理（最適解）
\zeta \lt 0.707 不足減衰 f_c \gt f_0 共振ピークが顕著（振幅が0dBを超える）、信号のオーバーシュート 避けるべき（電源リップル増加、信号歪み）
\zeta \gt 0.707 過減衰 f_c \lt f_0 共振ピークなし、ただし振幅-周波数特性の減衰が緩やか、過渡応答も劣る 低周波信号フィルタ（応答速度の遅さが許容される）
\zeta \to 0 （無負荷） 理想無減衰 f_c \approx 1.55f_0 共振ピークが極めて強く（振幅が無限大に近づく） 絶対に避ける（回路発振、安定性劣化）

3. キーバリデーション：Butterworth基準（実用最適解）

$\zeta = 0.707$のとき（Butterworthフィルタ設計基準）、数式に代入すると：

f_c = f_0 \cdot \sqrt{1 - 2\times(0.707)^2 + \sqrt{2(2\times(0.707)^4 - 2\times(0.707)^2 + 1)}} = f_0

このときカットオフ周波数と共振周波数は一致し、通過帯域の振幅-周波数特性が最も平坦、かつ共振ピークも過渡応答もバランスが取れています。スイッチング電源の出力LCフィルタやADCの前段信号フィルタにおいて最適設計とされます。

三、実践設計：2つの周波数関係を活用したLCフィルタ最適化

スイッチング電源の出力フィルタ設計を例に（仕様：出力電圧12V、負荷電流1A~5A、リップル≤50mV、カットオフ周波数$f_c = 1kHz$）：

1. 核心パラメータの確定

  • 負荷抵抗範囲：R_L = V_{out}/I_{out} → 2.4Ω（5A時）~12Ω（1A時）；
  • 設計基準：Butterworth基準（$\zeta = 0.707$）を採用し、$f_c = f_0 = 1kHz$とします。

2. LとCの計算

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})と減衰係数式\zeta = 1/(2R_L\sqrt{C/L})$を連立：

  • 最も厳しい条件（最小減衰）となる5A時の$R_L = 2.4Ω$で$\zeta = 0.707$を代入：
    0.707 = \frac{1}{2\times2.4\times\sqrt{C/L}} \implies \sqrt{\frac{C}{L}} = \frac{1}{2\times2.4\times0.707} \approx 0.297
  • $f_0 = 1kHz$より$\sqrt{LC} = 1/(2\pi\times1000) \approx 159\mu s$；
  • 連立解：L \approx 1.8mH、$C \approx 130\mu F$（実用値は標準値に調整可能：2mHインダクタ＋100μFキャパシタ）。

3. 共振とカットオフ周波数の検証

  • 共振周波数：f_0 = 1/(2\pi\sqrt{2mH\times100\mu F}) \approx 1.125kHz；
  • カットオフ周波数：$\zeta \approx 0.707$より$f_c \approx f_0 = 1.125kHz$、設計仕様（±10%の許容範囲）を満たします。

四、よくある誤解とまとめ

1. 誤解の修正

  • 誤解1：「LCローパスのカットオフ周波数は必ず共振周波数と同じ」——$\zeta = 0.707$のときのみ成立。不足減衰／過減衰時は不成立；
  • 誤解2：「共振周波数が高いほどフィルタ性能が良い」——共振周波数とカットオフ周波数のバランスが必要。高すぎると阻止帯域の減衰不足、低すぎると通過帯域の信号伝送に影響；
  • 誤解3：「$f_c$に負荷抵抗の影響を無視する」——負荷変化により減衰係数が変化し、$f_c$も変化します。設計時は最も厳しい負荷（最小$R_L$）で計算する必要があります。

2. 核心まとめ

  1. 共振周波数$f_0$はLCの固有特性（$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$）、カットオフ周波数$f_c$はフィルタの折れ曲がり周波数（$L、C、R_L$で決まる）；
  2. 両者は減衰係数$\zeta$で関連し、実用設計ではButterworth基準（$\zeta = 0.707$）が最適で、$f_c = f_0$となり性能が最大化；
  3. 負荷抵抗範囲を考慮し、全負荷範囲で$\zeta$が0.707に近くなるよう設計することで、リップル増加や信号歪みを防ぎます。

上記の解析を基に、スイッチング電源フィルタや信号ノイズ除去の実用設計に直接応用し、LCローパスフィルタの高精度設計を実現できます。